1.2 Układy Logiczne
25.11.2022 – Układy logiczne
Bramka Logiczna
Bramka logiczna – aktywny element elektroniczny, będący najczęściej układem scalonym, realizujący fizycznie pewną prostą funkcję logiczną , której argumenty oraz sama funkcja mogą przybierać wartości 0 albo 1.
[Zob. Algebra Boole’a]
Funkcje logiczne
Wyróżniamy trzy podstawowe funkcje logiczne, które mogą być realizowane elektronicznie:
- Koniunkcja AND
- Alternatywa OR
- Negacja NOT
Na gruncie tych trzech operacji logicznych możemy skonstruować nieco bardziej skomplikowane operatory:
- Negacja koniunkcji NAND
- Negacja alternatywy NOR
- Alternatywa wykluczająca XOR
- Negacja alternatywy wykluczającej XNOR
Wyróżniamy do tego dwie bramki, które są funkcjonalnie pełne, ponieważ możemy z nich tylko samych zbudować układ realizujący dowolną funkcję logiczną:
- NAND
- NOR
[Zob. W. Kurpiewski, Logika - wykłady i materiały dydaktyczne dla studentów Wydziału Humanistycznego AGH]
Dla układu z dwoma wejściami P oraz Q możemy sporządzić tzw. tablicę prawdy, będącą tabelą argumentów i wartości poszczególnych funkcji logicznych. Przy liczeniu operacji złożonych można utworzyć tabelę specyficzną dla układu i kolejno rozpisywać wartości logiczne.
| P | Q | P AND Q | P OR Q | NOT P | P NAND Q | P NOR Q | P XOR Q | P XNOR Q |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Przy projektowaniu układu realizującego funkcje złożone, możemy skorzystać z kilku praw logicznych, które mogą uprościć układ. Są to między innymi:
Pierwsze prawo de Morgana - negacja koniunkcji jest równoważna alternatywie negacji:
$\lnot\left(p\land q\right)\Longleftrightarrow(\lnot p\vee\lnot q)$
Drugie prawo de Morgana - negacja alternatywy jest równoważna koniunkcji negacji:
$\lnot\left(p\vee q\right)\Longleftrightarrow(\lnot p\land\lnot q)$
Prawo kontrapozycji (transpozycji) – równoważność implikacji prostej i przeciwstawnej:
$\left(p\Rightarrow q\right)\Longleftrightarrow\left(\lnot q\Rightarrow\lnot p\right)$
Prawo negacji implikacji - zaprzeczenie implikacji jest równoważne koniunkcji poprzednika i negacji następnika implikacji:
$\lnot\left(a\Longrightarrow b\right)\Longleftrightarrow(a\land\lnot b)$